近年来,圆锥曲线综合题做为数学卷压轴题的情况时有出现.

这不,最近成都七中一诊的数学卷,就用一道超难的圆锥曲线综合题压轴.

原题如下:

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前2问的答案如下:

e=2√5/5;

i)斜率乘积为-1/5.

重点分析第3问.

1

结构对称还是不对称?

要想思路清晰,运算简便,就要思考这样一个问题:

本题结构对称吗?

它关系到运算路径的选择.

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从M点来看,结构是不对称的.

因为P和Q是等价点,而M是OP的中点,并没有出现OQ的中点.

从这个角度出发,应该用“联消解”的思路.

即联立直线PQ与椭圆——解P点和Q点坐标——求M点坐标——写MQ方程——联立直线MQ与椭圆——解N点坐标——化斜为直求比例.

实际操作下来,因为坐标含有根号,运算难度极大.

2

在不对称中寻找对称

换一个思考角度.

从N点来看,N点相对P点、Q点又是对称的.

三点在椭圆上,用设点法解决较为方便.

为了方便表示坐标,引入比例变量“入”,用方程思想求解.

于是,有了下面的解法.

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共线的成比例线段,通常化斜为直、或者转化为共线向量,这一点在老左的圆锥曲线专栏里专门讲到过.

同时,第i)小问的结论,也为设点法、整体消元做好了准备.

3

《圆锥曲线要你命》专栏

老左的专栏《圆锥曲线要你命》涵盖了本题涉及的诸多技巧.

004节:直线设x型好,还是设y型好?

014节:联消解之(三):过椭圆已知点的弦

031节:共线的成比例线段:化斜为直或者转化为共线向量

073节:设点和设线本质上是一样的:独立条件的个数和条件的等价性

080节:设点法的精髓:利用“点坐标满足曲线方程”整体代换

092节:椭圆的共轭中心三角形

122节:圆锥曲线只有两类题之(二):多个变量整体算

老左用15年教学经验做成的专栏《圆锥曲线要你命》,依旧精彩,依旧超值.它包含123个图文和123个视频,庖丁解牛式地讲透圆锥曲线的方方面面.

参考阅读:一顿火锅钱,搞定高考圆锥曲线大题

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